Основные методы решения уравнений
Что такое решение уравнения?
Тождественное преобразование. Основные
виды тождественных преобразований.
Посторонний корень. Потеря корня.
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:
| 1. |
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .
|
| 2. |
Перенос членов уравнения из
одной стороны в другую с обратными знаками.
Так, в предыдущем
уравнении мы можем перенести все его члены из правой
части в левую со знаком « – »:
9
x
2
+
12
x +
4
–
15
x –
10 = 0,
после чего полу
чим:
9
x
2
–
3
x –
6 = 0
.
|
| 3. |
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.
П р и м е р . Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень . И наоборот, деление может привести к потере корня . Так в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .
В
последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и
окончательно получим:
|
Это
уравнение равносильно исходному: