Иррациональные числа. Формула сложного радикала
Рациональные
числа. Иррациональные числа.
Примеры иррациональных чисел.
Формула
сложного радикала.
Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где m и n – целые числа. Это числа нового типа , которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например:
- отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно
,
- отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу
Примеры других иррациональных чисел:
Докажем, что
является
иррациональным
числом. Предположим противное:
-
рационально
е число, тогда согласно определению рационального числа можно
записать:
=
m
/
n
,
отсюда: 2
=
m
2
/
n
2
,
или
m
2
=
2
n
2
,
то есть
m
2
делится на 2, следовательно,
m
делится на 2, откуда
m
= 2
k
,
тогда
m
2
= 4
k
2
или 4
k
2
= 2
n
2
,
то есть
n
2
= 2
k
2
,
то есть
n
2
делится на 2, а значит,
n
делится на 2, следовательно,
m
и
n
имеют общий множитель 2, что противоречит
определению рационального числа (см. выше). Таким образом, доказано, что
является
иррациональным
числом.
При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:
(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.
