Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно  обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

Например, вектор, направленный из точки A к точке B , можно обозначить a ,

__

Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т. e . A = B . Отсюда, 0 = – 0 .

Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB , обозначается | a | . В частности,  | 0 | = 0.

Векторы называются коллинеарными , если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b .

Три и более векторов называются компланарными , если они лежат в одной плоскости .

Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически . (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим , что

__                  __

a = AB and b = CD ,

тогда вектор __ __

a + b = AB + CD

есть результат выполнения двух операций:

a ) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б ) геометрического сложения , т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора .

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + ( – b ) .

Законы сложения .

I . a + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон ).

II . ( a + b ) + c = a + ( b + c )  ( С о ч е т а т е л ь н ы й   закон ).

III . a + 0 = a .

IV. a + ( – a ) = 0 .

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 ,  ( – 1 ) · a = – a .

II.     m a = a m , | m a | = | m | · | a | .

III . m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й

закон умножения на число ).

IV . ( m + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).

Скалярное произведение векторов . __     __

Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C . Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:

( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле :

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | ² , называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотно шением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно , если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I . ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й   закон )

II . ( m a , b ) = m ( a , b ) .

III . ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ) . ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й   закон )

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i , j и k ,  связанные с координатными осями: i – с осью Х , j – с осью Y и k – с осью Z . В соответствии с этим определением:

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,

| i | = | j | = | k | = 1.

Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи : a = ( x, y, z ). Здесь x , y , z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i , j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть a = ( x , y , z ) ; b = ( u , v , w ) . Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина (модуль) вектора a = ( x , y , z ) равна:

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов может выполняться по координатам :

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a – b = ( x – u , y – v , z – w ) .

Векторное произведение векторов. Векторным произведением [ a ,

b ] векторов a и b ( в указанном порядке )  называется вектор:

Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :

/\

| [ a, b ] | = | a | | b |  sin ( a, b ) ,

т. e . длина ( модуль )  векторного произведения векторов a и b равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина ( модуль ) вектора [ a , b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Свойства векторного произведения .

I . Вектор [ a , b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b .

( Докажите это , пожалуйста ! ) .

II. [ a , b ] = – [ b , a ] .

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b , c ] =  [ a , c ] + [ b , c ] .

V. [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) .

VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – a ( b , c ) .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

a = ( x , y , z )  и b = ( u, v, w ) :

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = ( x, y, z ), b = ( u, v, w ) и c = ( p, q, r ) :

П р и м е р . Даны векторы: a = ( 1, 2, 3 ) и b = ( – 2 , 0 ,4 ).

Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол

между этими векторами.

Р е ш е н и е . Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:

a ). скалярное произведение:

( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

б). векторное произведение:

Назад