Неравенства: общие сведения

Неравенство. Тождественное неравенство.

Строгие и нестрогие неравенства.

Решение неравенств и систем неравенств.

Основные свойства неравенств.

Некоторые важные неравенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным . Например, тождественны следующие неравенства:   3 · 7 – 20 > 2 · 4 – 10, a 2 ≥ 0,   | – 5 | > 3. (Почему?)
В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства ( > , < ), либо нестрогие ( ≥ , ≤ ). Запись 5 a ≤ 4 b означает, что 5 a либо меньше 4, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными.
Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было тождественным. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства , входящие в систему, были тождественны одновременно.

Основные свойства неравенств.


1. Если a < b ,  то b > a ;  или если a > b , то b < a .

2.

Если a > b , то a + c > b + c ; или если a < b , то a + c < b + c . То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства.

3.

Если a > b и c > d ,  то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или < ) можно почленно складывать. Заметим, что неравенства одного смысла нельзя почленно вычитать одно из другого, так как результат может быть неверным.

4.

Если a > b и c < d ,  то a – c > b – d . Или если a < b и c > d ,  то a – c < b – d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являю щегося уменьшаемым.

5.

Если a > b и m > 0 , то ma > mb и a / m > b / m . То есть, обе части нера венства можно умножить или разделить на одно и то же положи тельное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.

6.

Если a > b и m < 0 , то ma < mb и a / m < b / m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрица тельное число . Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.