Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Криволинейная трапеция. Определённый интеграл.

Пределы интегрирования. Подынтегральное

выражение. Формула Ньютона – Лейбница.

Рассмотрим непрерывную функцию y = f ( x ), заданную на отрезке [ a , b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ).
Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a , b ] и прямыми x = a и x = b , называется криволинейной трапецией .
Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.

Рассмотрим функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a , b ]. Если a b , то S ( x ) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку ( x , 0 ). Отметим, что если

x = a , то S ( a ) = 0 , а S ( b ) = S ( S – площадь всей криволинейной трапеции). Можно доказать, что

т. e . S ( x ) – первообразная для f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех x [ a , b ]  имеем:

S ( x ) = F ( x ) + C ,

где C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f .

Чтобы найти C , подставим x = a :

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

отсюда , C = - F ( a ) и S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , то подставляя x = b , получим:

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).

П р и м е р .  Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми

y = 0, x = 1, x = 2  ( рис.9 ) .

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a , b ] на n отрезков равной длины точками:

x 0 = a < x 1 < x 2 < x 3 < …< x n - 1 < x n = b

и пусть = ( b – a ) / n = x k - x k - 1 , где k = 1,  2, …, n – 1, n .

В каждом из отрезков [ x k - 1 , x k ] как на основании построим прямоугольник высотой f ( x k - 1 ). Площадь этого прямоугольника равна:


Ввиду непрерывности функции f ( x ) объединение построенных прямоугольников при большом n ( т.e. при малом "почти совпадает" с нашей криволинейной трапецией ). Поэтому, S n S при больших значениях n . Это значит, что S n S при n . Этот предел называется интегралом функции f ( x ) от a до b или определённым интегралом :

Числа a и b называются пределами интегрирования , f ( x ) dx – подынтегральным выражением .

Итак, если f ( x ) 0 на отрезке [ a , b ], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона - Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции f ( x ) на отрезке [ a , b ], то

Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница . Она справедлива для любой функции f ( x ), непрерывной на отрезке  [ a , b ] .

Р е ш е н и е.   Используя таблицу интегралов элементарных функций

( см. выше ), получим:

Назад