Приложения определённого интеграла в геометрии и механике

Объём тела вращения. Работа переменной силы.

Определённый интеграл имеет многочисленные приложения в математике, механике, физике, астрономии, технике и других областях человеческой деятельности. Мы рассмотрим здесь только два примера, иллюстрирующие возможности этого аппарата.

Объём тела вращения . Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f ( x ), прямыми x = a и x = b и осью OX ( рис .10 ).

Объём V тела вращения будет равен:

Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси OX под действием переменной силы f , зависящей от положения точки x на оси, т. e . силы, являющейся функцией x . Тогда работа A , необходимая

для перемещения материальной точки из позиции x = a в позицию x = b вычисляется по формуле :

П р и м е р .  Найти объём усечённого конуса, образованного вращением

прямой y = x + 1  вокруг оси OX и ограниченной линиями

x = 0 и x = 3 .

Р е ш е н и е .  В соответствии с вышеприведенной формулой имеем: