Производная. Геометрический и механический смысл производной
Производная . Приращение аргумента. Приращение функции.
Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.
Механический смысл производной. Средняя и мгновенная скорость.
Ускорение.
Производная.
Рассмотрим
некоторую функцию
y
=
f
(
x
) в двух точках
x
0
и
x
0
+
:
f
(
x
0
) и
f
(
x
0
+
).
Здесь
через
обозначено
некоторое
малое
изменение аргумента, называемое
приращением аргумента
;
соответственно разность
между двумя значениями функции:
f
(
x
0
+
)
-
f
(
x
0
)
называется
приращением функции
.
Производной
функции
y
=
f
(
x
) в
точке
x
0
называется предел:
Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f ( x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции
y
=
f
(
x
):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где
-
угол наклона секущей
AB
.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту
секущей. Если зафиксировать точку
A
и двигать по
направлению к ней точку
B
, то
неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ
приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен
угловому коэффициенту касательной в точке
A
.
Отсюда следует:
производная функции в точке есть угловой
коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и
состоит
геометрический смысл
производной.
Уравнение касательной.
Выведем
уравнение касательной к графику функции в точке
A
(
x
0
,
f
(
x
0
)
). В
общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом
f
’(
x
0
) имеет
вид:
Чтобы
найти
b
,
воспользуемся тем, что касательная проходит через точку
A
:
отсюда
,
b
=
f
(
x
0
) –
f
’(
x
0
)
·
x
0
,
и подставляя это выражение вместо
b
,
мы
получим
уравнение касательной
:
Механический смысл производной.
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль
координатной оси, причём закон движения задан: координата
x
движущейся точки –
известная функция
x
(
t
) времени
t
.
В
течение
интервала времени от
t
0
до
t
0
+
точка перемещается на расстояние:
x
(
t
0
+
)
-
x
(
t
0
) =
,
а её
средняя скорость
равна:
v
a
=
/
.
При
0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая
называется
мгновенной скоростью
v
(
t
0
)
материальной точки в момент времени
t
0
. Но по определению производной мы имеем:
отсюда , v ( t 0 ) = x’ ( t 0 ) , т. e . скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной . Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v ’ ( t ).