Первообразная. Неопределённый интеграл

Первообразная . Неопределённый интеграл .

Постоянная интегрирования.

Первообразная. Непрерывная функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на промежутке X ,  если для каждого

F ’ ( x ) = f ( x ).

П р и м е р . Функция F ( x ) = x ³ является первообразной для функции

f ( x ) = 3 x ² на интервале  ( - , + ) , так как

F ’ ( x ) = ( x ³ ) ’ = 3 x ² = f ( x )

для всех x ( - , + ) .

Легко проверить, что функция x ³ + 13 имеет ту же производную

3 x ² , поэтому x ³ + 13 также является первообразной для функции

3 x ² для всех x ( - , + ) . Ясно, что вместо 13 можно взять

любую постоянную.

Таким образом, задача на хождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопре делённого интеграла.

Неопределённый интеграл функции f ( x ) на промежутке X есть множество всех её первообразных . Это записывается в виде:

где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования .