Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции

Вторая производная. Выпуклая и вогнутая функция.

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Точка перегиба.

Вторая производная. Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x ₀ ), то её производная называется второй производной функции f ( x ) в точке ( x ₀ ), и обозначается f '' ( x ₀ ) .

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a , b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ), x ₀ ( a , b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a , b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ), x ₀ ( a , b ).

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a , b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a , b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a , b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a , b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a , b ) .

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба . Отсюда следует, что если в точке перегиба x ₀ существует вторая производная f '' ( x ₀ ), то f '' ( x ₀ ) = 0.

П р и м е р .

Рассмотрим график функции y = x 3 : Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y '' = 6 x , но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0 при x < 0, следовательно, y '' > 0 при x > 0 и y '' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3 .