Методы интегрирования
Интегрирование по частям.
Интегрирование подстановкой ( замена переменной ).
Интегрирование по частям.
Если функции
u
(
x
)
и
v
(
x
) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл
v
(
x
)
du
(
x
),
то
существует
и
интеграл
u
(
x
)
dv
(
x
)
и имеет
место равенство:
u
(
x
)
dv
(
x
) =
u
(
x
)
v
(
x
)
du
(
x
)
или в более короткой форме:
u dv
=
u v
–
v du
.
Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).
|
П р и м е р . |
Найти интеграл:
ln
x dx
.
|
| Р е ш е н и е . |
Предположим
u
= ln
x
и
dv
=
dx
, тогда
du
=
dx
/
x
и
v
=
x
.
Используя формулу интегрирования по частям, получим:
|
Интегрирование подстановкой (замена переменной).
Если функция
f
(
z
) определена и имеет первообразную при
z
Z
, а функция
z
=
g
(
x
)
имеет непрерывную производную при
x
X
и её область
значений
g
(
X
)
Z
, то функция
F
(
x
)
=
f
[
g
(
x
)]
×
g
'
(
x
)
имеет
первообразную
на
Х
и
F
(
x
)
dx
=
f
[
g
(
x
)]
f
(
z
)
dz
.
| П р и м е р . |
Найти интеграл
:
.
|
| Р е ш е н и е . |
Чтобы избавиться
от
квадратного корня, положим
,
тогда
x = u
2
+ 3
и,
следовательно,
dx =
2
u du
.
Делая подстановку, имеем:
|