Правило Лопиталя

Пусть при x a для функций f ( x ) и g ( x ), дифференцируемых в неко торой окрестности точки а , выполняются условия:

Эта теорема называется правилом Лопиталя . Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель c тремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: 0 / 0 и / .

При неопределённостях другого типа: , × 0 , 0 0 , 0 , нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их

к какой-то из двух неопределённостей:  либо 0 / 0 , либо / . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

1) :
пусть f ( x ) , g ( x ) , тогда данная неопределённость приводится к типу  0 / 0 следующим преобразованием:
2)

× 0 :
пусть f ( x ) , g ( x ) 0 , тогда данная неопределённость приводится к типу 0 / 0 или / с помощью преобразований:

3)

остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если после применения правила Лопиталя неопределённость типа  0 / 0  или / осталась, нужно применить  его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если x .

Назад