Геометрическое место точек. Круг и окружность

Геометрическое место точек. Срединный перпендикуляр . Биссектриса угла.

Окружность. Круг . Центр окружности. Радиус. Дуга. Секущая. Хорда.

Диаметр. Касательная и её свойства. Сегмент. Сектор. Углы в круге.

Длина дуги . Радиан. Соотношения между элементами круга.

Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворя ющих определённым заданным условиям.

П р и м е р  1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое

место точек (т.е. множество всех точек), равноудалён ных от

концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB :

Тогда, расстояния от любой точки P , лежащей на срединном перпендикуляре PO , до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

П р и м е р 2 . Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон .

П р и м е р 3 . Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множе ство

всех точек), равноудалённых от её центра ( на рис. пока зана одна

из этих точек – А ).

Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости , равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Часть

Хорда, проходящая через центр круга ( например, BC , рис.39 ), называется диаметром и обозначается d или D . Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам ( d = 2 r ).

Касательная. Предположим, секущая PQ ( рис.40 ) проходит через точки K и M окружности. Предположим также, что точка M движется вдоль окружности, приближаясь к точке K . Тогда секущая PQ будет менять своё положение, вращаясь вокруг точки K . По мере приближения точки M к точке K секущая PQ будет стремиться к некоторому предельному положению АВ. Прямая AB называется касательной к окружности в точке K . Точка K называется точкой касания. Касательная и окружность имеют только одну общую точку – точку касания.

Свойства касательной.

1) К асательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания ( AB OK, рис.40 ) .

2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные к одной и той же окружности; их отрезки равны ( рис.41 ).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB ( рис.42 ). Длина перпендикуляра CD , проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB , называется высотой сегмента.

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой A m B и двумя радиусами OA и OB , проведенными к концам этой дуги ( рис.43 ).

Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ( AOB, рис.43 ). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами AB и AC , проведенными из их одной общей точки ( BA C , рис.44 ). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC , проведенными из одной общей точки ( BAC, рис.41 ).

Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу r и соответствующему центральному углу :

l = r

Таким образом, если мы знаем длину дуги l и радиус r , то величина соответствующего центрального угла

= l / r .

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если l = r , то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану ( это обозначается: = 1 рад ). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43 ), у которого длина дуги равна её радиусу ( A m B = AO , рис.43 ). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:

C = 2 r ,

где определяется как отношение C к диаметру круга 2 r :

= C / 2 r .

- иррациональное число; его приближённое значение 3.1415926…

С другой стороны, 2 - это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

p 2 l + ( 2 l – L ) / 3 ,

где ( см. рис.42 ): p – длина дуги ACB ; l – длина хорды AC ; L – длина хорды AB . Если дуга содержит не более чем 60 º , относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол ( ABC , рис.45 ) равен половине центрального угла , опирающегося на ту же дугу A mC ( AOC , рис.45 ) . Поэтому, все вписанные углы ( рис.45 ), опирающиеся на одну и ту же дугу ( A m C , рис.45 ), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга ( A m C , рис.45 ), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается ( в нашем случае A m C ).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг ( APB, AQB, …, рис.46 ), прямые ( Докажите это, пожалуйста! ).

Угол ( AOD, рис.47 ) , образованный двумя хордами ( AB и CD ), измеряет ся полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: ( A n D + C m B ) / 2 .

Угол ( AOD, рис.48 ) , образованный двумя секущими ( AO и OD ), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: ( A n D – B m C ) / 2.

Угол ( DCB, рис.49 ) , образованный касательной и хордой ( AB и CD ), изме ряется половиной дуги, заключённой внутри него: C m D / 2.

Угол ( BOC, рис.50 ) , образованный касательной и секущей ( CO и BO ), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: ( B m C – C n D ) / 2 .

Описанный угол ( AOC, рис.50 ) , образованный двумя касательными ( CO и AO ), измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: ( ABC – CDA ) / 2 .

Произведения отрезков хорд ( AB и CD , рис.51 или рис.52 ), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO .

К вадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть ( рис.50 ) : OA ² = OB · O D ( докажите! ). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

Хорда ( AB , рис.53 ) , перпендикулярная диаметру ( CD ) , делится в их точке пересечения O пополам: AO = OB .

( Попробуйте доказать это! ).