Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники

Вписанный в круг многоугольник .

Описанный около круга многоугольник .

Описанный около многоугольника круг .

Вписанный в многоугольник круг .

Радиус вписанного в треугольник круга .

Радиус описанного около треугольника круга .
Правильный многоугольник .

Центр и апофема правильного многоугольника .
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников .

Вписанным в круг называется многоугольник, вершины которого расположены на окружности ( рис.54 ). Описанным около круга называется многоугольник, стороны которого являются касательными к окружности

( рис.55 ).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника ( рис.54 ), называется описанной около многоугольника ; окружность, для которой стороны многоугольника являются касательными ( рис.55 ) , на зывается вписанной в многоугольник . Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность . Для треуголь ника это всегда возможно.

Радиус r вписанного круга выражается через стороны a , b , c треугольника:

Радиус R описанного круга выражается формулой:

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Для параллелограммов это возможно только для ромба ( квадрата ). Центр вписанного круга расположен в точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника можно описать круг, если сумма его противоположных углов равна 180º. Для параллелограммов это возможно только для прямоугольника ( квадрата ). Центр описанного круга лежит в точке пересечения диагоналей. Вокруг трапеции можно описать круг , если только она равнобочная.

Правильный многоугольник – это многоугольник с равными сторонами и углами .

На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 – правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180º ( n – 2 ) / n , где n – число его углов. Внутри правильного многоугольника существует точка O ( рис. 56 ), равноудалённая от всех его вершин ( OA = OB = OC = … = OF ), которая называется центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника также равноудалён от всех его сторон  ( OP = OQ = OR = … ). Отрезки OP , OQ , OR , … называются апофемами ; отрезки OA , OB , OC , … – радиусы правильного многоугольника. В правильный многоугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус описанного круга - это радиус правильного многоугольника, a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников:

Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.

П р и м е р .   Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из круга

диаметром 40 см?

Р е ш е н и е .  Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть вписанный

квадрат. В соответствии с вышеприведенной формулой его

сторона равна:

Следовательно, квадрат со стороной 30 см невозможно выре зать

из круга диаметром 40 см.

Назад