Площади плоских фигур

Произвольный треугольник .  a , b , c – стороны; a – основание; h – высота;

A , B , C – углы, противоположные сторонам a , b , c ; p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Многоугольник, площадь которого нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько треугольников. Многоугольник, описанный около круга ( рис.67 ), может быть разделён прямыми, идущи ми из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:

В частности, эта формула справедлива для любого правильного многоугольника.

Правильный шестиугольник .  a – сторона .

Круг .  D – диаметр ; r – радиус .

Сектор ( рис .68 ). r – радиус; n – величина центрального угла в градусах; l – длина дуги .

Сегмент ( рис.68 ). Площадь сегмента определяется как разность между площадями сектора A m BO и треугольника AOB . Кроме того, есть приближённая формула для площади сегмента:

где a = AB ( рис.68 ) – основание сегмента; h – его высота ( h = r – OD ). Относительная погрешность этой формулы:  при A m B = 60 ° – около 1.5% ;  при A m B = 30 ° - ~ 0.3%.

П р и м е р .  Вычислить площади сектора A m BO ( рис.68 ) и сегмента A m B

при следующих данных: r = 10 см, n = 60 ° .

Р е ш е н и е .  Площадь сектора:

Площадь правильного треугольника AOB:

Отсюда , площадь сегмента :

S = S ₁ – S ₂ =  52.36 – 43.30 = 9.06 см ² .

Заметим, что в правильном треугольнике AOB :

AB = AO = BO = r , AD = BD = r / 2 , и поэтому высота OD

в соответствии с теоремой Пифагора равна:

Тогда , по приближённой формуле получим: