Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма.

Прямоугольник . Основные свойства прямоугольника. Ромб.

Квадрат . Трапеция . Средние линии трапеции и треугольника.

Параллелограмм (

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями , а расстояние между ними – высотой ( BE ,  рис.32 ).

Свойства параллелограмма.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD , AD = BC ).

2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D ).

3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ).

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон :

AC ² + BD ² = AB ² + BC ² + CD ² + AD ² .

Признаки параллелограмма .

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD , AD = BC ).

2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).

3. Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD , AB || CD ) .

4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC , BO = OD ).

Прямоугольник.

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые ( почему ?). Такой параллелограмм называется прямоугольником ( рис.33 ) .

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD .

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):

AC ² = AD ² + DC ² .

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом ( рис .34 ) .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис .35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно;  поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные сто роны параллельны ( рис.36 ).

Здесь AD || BC .  Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота . Отрезок EF , соединяющий средние точки E и F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им: EF || AD и EF || BC .

Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из предыдущего

пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.