Подобие плоских фигур. Признаки подобия треугольников

Подобие плоских фигур. Отношение подобия.

Подобие многоугольников. Признаки подобия треугольников .

Подобие плоских фигур. Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными. Например, картина и её фотография – это подобные фигуры.

В двух подобных фигурах любые соответственные углы равны, то есть, если точки A , B , C , D одной фигуры соответствуют точкам a , b , c , d другой фигуры, то ABC = abc , BCD = bcd и т.д.

Два многоугольника ( ABCDEF и abcdef , рис.37 ) подобны, если их углы равны: A = a, B = b, …, F = f , а стороны пропорциональны:

Для подобия многоугольников недостаточно только пропорциональности сторон . Например, квадрат ABCD и ромб abcd ( рис.38 ) имеют пропорциональные стороны: каждая сторона квадрата вдвое больше, чем у ромба,

однако их диагонали не пропорциональны.

Но для подобия треугольников достаточно пропорциональности их сторон.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

1) все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов);
2) все их стороны пропорциональны;
3)

две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между  этими сторонами, равны.

Два прямоугольных треугольника подобны, если:

1) их катеты пропорциональны;
2)

кае катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;

3) два угла одного треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий ( например , сторон ). Так, площади кругов пропорциональны отно шению квадратов их диаметров ( или радиусов ).

П р и м е р .

Круглый металлический диск диаметром  20 см  весит 6.4 кг.

Сколько весит круглый металлический диск диаметром 10 см?


Р е ш е н и е .

Так как малый диск имеет ту же толщину и состоит из того же

материала, что и большой, то их веса пропорциональны их площадям,

а отношение площади малого диска к площади большого равно :

( 10 / 20 ) 2 = 0.25 .

Следовательно, малый диск весит  6.4 · 0.25 = 1.6 кг.

Назад