Мнимые и комплексные числа

Мнимые числа. Мнимая единица. Действительные

или вещественные числа. Комплексные числа.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:

x ² = a ,

где а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:

Здесь возможны три случая :

1).

Если a = 0 , то x = 0.

2).

Если а – положительное число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное, другое отрицательное; например, уравнение x ² = 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это часто записывается как корень с двойным знаком:

3).

Если а – отрицательное число, то это уравнение не имеет решений среди известных нам положительных и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число неотрицательное ( продумайте это! ). Но если мы хотим получить решения уравнения x ² = a также и для отрицательных значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем о пределить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x ² = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Подставляя оба эти корня в наше уравнение, получаем тождество. (Проверьте !). В отличие от мнимых чисел все остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и иррациональные) называются действительными или вещественными числами . Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом и обозначается:

a + b i ,

где a , b – действительные числа, i – мнимая единица.

Более подробно о комплексных числах см. раздел «Комплексные числа» .

П р и м е р ы комплексных чисел: 3 + 4 i , 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i , 2 + i .