Деление многочлена на линейный двучлен
Линейный двучлен. Теорема Безу.
Линейный двучлен есть многочлен первой степени: a x + b . Если разделить многочлен, содержащий букву x , на линейный двучлен x – b , где b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени (см. параграф "Деление многочленов" ), т.е. некоторым числом N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при x = b . Это свойство вытекает из теоремы Безу : многочлен a 0 x m + a 1 x m - 1 + a 2 x m - 2 + …+ a m делится на двучлен x – b с остатком N = a 0 b m + a 1 b m - 1 + a 2 b m - 2 + …+ a m .
Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с определением операции деления многочленов имеем:
a 0 x m + a 1 x m- 1 + a 2 x m- 2 + …+ a m = ( x – b ) Q + N ,
где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.
Подставим x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q обращается в нуль, и мы получаем:
a 0 b m + a 1 b m - 1 + a 2 b m - 2 + …+ a m = N .
З а м е ч а н и е . При N = 0 число b является корнем уравнения:
a 0 x m + a 1 x m - 1 + a 2 x m - 2 + …+ a m = 0 .
Теорема доказана.